5

A Martin Gardner y Ross Honsberger,cuya labor de difusión de las matemáticas inspiró a tantos.

7

Prefacio

8

Prefacio

una recopilación de conceptos matemáticos (Caja de herramientas) al final del libro que te será útil.

Me tomo muy en serio el mandamiento del poeta Horacio que decía que escribir debe deleitar e instruir, así que espero que te diviertas con estos problemas y que aprendas algo de matemáticas. Quizás tengas la satisfacción de descubrir alguna solución ¡Ajá! por ti mismo.

Quiero agradecer a las siguientes personas sus sugerencias para este libro: Robert Cacioppo, Robert Dobrow, Christine Erickson, Suren Fernando, Martin Gardner, David Garth, Joe Hemmeter, Ross Honsberger, Daniel Jordan, Ken Price, Khang Tran y Anthony Vazzana.

9

Capítulo 1

Vamos a comenzar con algunos problemas relativamente fáciles. El desafío se volve-rá gradualmente más difícil a medida que avances a lo largo del libro. Los problemas de este capítulo se pueden resolver sin utilizar matemáticas avanzadas. El conoci-miento de aritmética básica, álgebra y geometría será de utilidad, así como tu propio pensamiento creativo.

Te recomiendo que intentes resolver todos los problemas, incluso si ya sabes la res-puesta, porque puedes descubrir nuevos e interesantes aspectos de las soluciones. Después de cada solución encontrarás un apartado con material extra en el que se comenta algún resultado matemático relacionado con el problema. Recuerda, todos los problemas tienen una solución ¡Ajá!

11

Capítulo 1

Reparto justo

Ana tiene quince galletas y Berta tiene nueve. Carla, que no tiene ninguna galleta, paga a Ana y a Berta 24 céntimos por compartir sus galletas. Cada chica se come un tercio de las galletas. Berta dice que ella y Ana se deberían repartir los 24 cénti-mos a partes iguales, 12 para cada una. Ana dice que como ella ha aportado quince galletas y Berta solo nueve, ella debería quedarse quince céntimos y Berta nueve.

¿Cuál es la forma más justa de repartir los 24 céntimos entre Ana y Berta?

Solución

La clave del problema está en determinar el valor de una galleta. Cada chica se ha comido ocho galletas. Como Carla ha pagado 24 céntimos por ocho galletas, cada galleta se valora en 3 céntimos. Entonces Ana, que empieza con quince galletas y vende siete a Carla, debería recibir 21 céntimos, y Berta, que empieza con nueve galletas y vende una a Carla, debería recibir 3 céntimos.

Extra: Reparto de cajas de galletas

Ana, Berta y Carla tienen 21 cajas de galletas (todas del mismo tamaño). Siete están lle-nas, siete están por la mitad y siete están vacías; por el peso saben cuáles son. Las chicas quieren repartirse las cajas de tal forma que cada una se lleve el mismo número de cajas y la misma cantidad de galletas. ¿Cómo pueden lograrlo sin abrir ninguna de las cajas?

Hay dos formas diferentes, tal y como se muestra a continuación.

Ana Ana

Berta Berta

Carla Carla

12

Capítulo 1

Hemos llamado L a las cajas llenas, M a las cajas que están por la mitad y V a las vacías. En ambas soluciones, cada chica se lleva siete cajas y una cantidad de ga-lletas equivalente a tres cajas y media. No hemos contado como soluciones distintas las que se obtienen permutando los nombres de las chicas.

Como veremos más adelante (en Triángulos enteros, página 239), cada solución se corresponde con un triángulo de lados enteros y perímetro siete, como ves en la fi-gura de debajo. La longitud de los lados del triángulo se corresponde con el número de cajas llenas que le toca a cada chica en el reparto.

Una simple fracción

A. Encuentra una fracción entera entre 1/4 y 1/3 tal que el denominador sea un en-tero positivo menor que 10.

B. Encuentra una fracción entera entre 7/10 y 5/7 tal que el denominador sea un entero positivo menor que 20.

Solución

A. Como , tomando recíprocos, obtenemos las desigualdades

En efecto, multiplicando en cruz, tenemos que:

porque 1 ⋅ 7 < 4 ⋅ 2

y

porque 2 ⋅ 3 < 7 ⋅ 1.

Puedes comprobar que 2/7 es la única solución probando todas las demás posibilidades.

B. Fíjate en que la fracción que aparece en el apartado anterior se puede obtener sumando los numeradores y los denominadores de 1/4 y 1/3.

13

Capítulo 1

¿Servirá el mismo truco para 7/10 y 5/7? Vamos a probar con la posible respuesta

Verificamos las desigualdades

multiplicando en cruz

porque 7 ⋅ 17 < 10 ⋅ 12

y

porque 12 ⋅ 7 < 17 ⋅ 5.

Puedes comprobar que 12/17 es la única solución probando todas las demás posi-bilidades.

Extra: Fracciones mediadoras

Las respuestas dadas en A. y B. se denominan fracciones mediadoras o mediacio-nes1. La mediación de a/b y c/d es (a + c)/(b + d). Por ejemplo, la mediación de 1/4 y 1/3 es 2/7 y la mediación de 7/10 y 5/7 es 12/17. Si a/b < c/d (con b y d positivos), entonces

Comprueba estas desigualdades multiplicando los términos en cruz.

Aquí damos una demostración ¡Ajá! de las desigualdades que satisface la mediación. Si a, b, c y d son todos positivos, podemos interpretar las fracciones como concen-traciones de sal en agua. Supongamos que tenemos dos disoluciones de agua sala-da, la primera con a cucharaditas de sal en b litros de agua, y la segunda con c cu-charaditas de sal en d litros de agua.

La concentración de sal en la primera disolución es a/b cucharaditas/litro, mientras que la concentración de sal en la segunda es c/d cucharaditas/litro. Supón que la primera diso-lución está menos salada que la segunda, es decir, que a/b < c/d. Ahora, si combinamos

14

Capítulo 1

las dos disoluciones, obtenemos una disolución con a + c cucharaditas de sal en b + d litros de agua, por lo que ahora la salinidad es (a + c)/(b + d) cucharaditas/litro. Eviden-temente, la nueva disolución es más salada que la primera y menos que la segunda.

Es decir,

¡Hemos obtenido una demostración de lo más salada!

Una larga suma

¿Cuánto vale la suma de los cien primeros enteros,

1 + 2 + 3 + … + 100?

Por supuesto, podríamos sumar los números de uno en uno. Pero en vez de eso buscamos una solución ¡Ajá!, un cálculo simple que dé la respuesta inmediatamente y profundice en el problema.

Solución

Observa que los números se pueden emparejar de la siguiente manera

1 y 100,

2 y 99,

3 y 98,

…

50 y 51.

Tenemos 50 parejas y cada pareja suma 101, por lo que nuestra suma vale 50 ⋅ 101 = 5050.

Esta solución funciona en general para la suma

1 + 2 + 3 + … + n,

donde n es un número par. Emparejamos los números como antes

1 y n,

2 y n − 1,

3 y n − 2,

…

n/2 y n/2 + 1.

15

Capítulo 1

Tenemos un total de n/2 parejas y cada una suma n + 1, por lo que nuestra suma vale n/2 ⋅ (n+1) = n(n+1)/2.

¿Qué sucede si n es impar? No podemos emparejar los números como antes (el término central no tiene pareja). Sin embargo, añadiendo un 0 no se cambia el resul-tado final

0 + 1 + 2 + 3 + … + n.

Ahora tenemos un número par de términos, y pueden ser emparejados de la forma

0 y n,

1 y n − 1,

2 y n − 2,

…

(n − 1)/2 y (n − 1)/2 + 1.

Tenemos (n + 1)/2 parejas y cada una suma n por lo que nuestra suma vale, de nuevo, n(n + 1)/2.

Hay un “método de duplicación” que funciona tanto para n par como impar. Si S es el valor de la suma, introducimos un duplicado de S escribiendo los sumandos al revés

Suma las dos expresiones de S, agrupando los primeros términos, después los se-gundos términos, y así sucesivamente

2S = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + … + (n + 1).

Como el término n+1 aparece n veces esta expresión se reduce a

2S = n(n + 1),

es decir,

.

Extra: La suma de una progresión aritmética

Se dice que Carl Friedrich Gauss (1777-1855), uno de los más grandes matemá-ticos de todos los tiempos, resolvió nuestro problema para n = 100 en el colegio cuando tenía 10 años de edad. Sin embargo, según Eric Temple Bell [2], el proble-ma que resolvió Gauss fue realmente más difícil. El problema era del siguiente tipo:

16

Capítulo 1

Calcula la siguiente suma: 81297 + 81495 + 81693 + … + 100899, donde la dife-rencia entre dos números es siempre la misma (en este caso 198) y se tiene que sumar un número determinado de términos (en este caso 100).

El problema mencionado por Bell consiste en realizar la suma de una progresión aritmética. Podemos calcular la suma usando nuestra fórmula para la suma de los n primeros enteros. El cálculo es:

81297 + 81495 + 81693 + … + 100899 = 81297 ⋅ 100 + 198 ⋅ (1 + 2 + … + 99)= 8129700 + 198 ⋅ = 9109800

Sumas de enteros consecutivos

Observa las identidades

1 + 2 = 3 4 + 5 + 6 = 7 + 8 9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = 21 + 22 + 23 + 24 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 30 = 31 + 32 + 33 + 34 + 35 36 + 37 + 38 + 39 + 40 + 41 + 42 = 43 + 44 + 45 + 46 + 47 + 48

¿Cuál es la relación que observas y por qué funciona?2

Solución

Considera la tercera identidad

9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15

Si sumamos 4 a cada uno de los tres números de la izquierda (9, 10 y 11), entonces obtenemos los tres números de la derecha (13, 14 y 15). Hemos sumado 4 ⋅ 3 = 12 al lado izquierdo de la igualdad, que es justo el valor del cuarto número que aparece a la izquierda.

La n-ésima identidad (para n ≥ 1) es

n2 + (n2 +1) + … + (n2 + n) = (n2 + n + 1) + (n2 + n + 2) + … + (n2 + n + n).

17

Capítulo 1

Hay n + 1 términos a la izquierda y n términos a la derecha. Si sumamos n + 1 a cada término de la izquierda excepto al último, obtenemos todos los términos de la derecha. Hemos sumado (n +1) n = n2 + n a la izquierda, que es justo el valor del último término de la izquierda.

Extra: Encontrando un polinomio

Es fácil hallar la suma dada por la n-ésima identidad. La media de los n + 1 términos de la izquierda es (n2 + (n2 + n))/2, por lo que la suma vale

.

Supongamos que no conocemos esa fórmula, sino solamente las sumas:

3, 15, 42, 90, 165, 273, …

¿Cómo podemos encontrar el polinomio p(n) cuyos valores para n = 1, 2, 3, … sean esos números? El método (usando el cálculo de diferencias finitas) consiste en formar la sucesión de las diferencias de los valores consecutivos de nuestra sucesión inicial:

12, 27, 48, 75, 108, …

Si repetimos este proceso, creamos una sucesión de sucesiones:

Cuando obtenemos una sucesión constante, paramos. Ahora, el polinomio p(n) se obtiene multiplicando los elementos de la primera columna de nuestra matriz por coeficientes binomiales sucesivos y sumando:

Este polinomio da los valores de nuestra sucesión empezando en p(0). Como noso-tros queremos empezar en p(1), tenemos que reemplazar n por n − 1 en la fórmula para obtener el polinomio

p(n) = n (n + 1) (2n + 1)/2.

18

Capítulo 1

Sumas y restas

Calcula

1002 − 992 + 982 − 972 + 962 − 952 + … + 22 − 12.

Solución

Usando la fórmula de la diferencia de cuadrados x2 − y2 = (x + y) (x − y), la expresión se puede escribir de la forma

(100 + 99)(100 − 99) + (98 + 97)(98 − 97) + (96 + 95)(96 − 95) + … + (2 + 1)(2 − 1).

Como cada segundo término de los paréntesis es igual a 1, esta expresión se sim-plifica para dar

100 + 99 + 98 + 97 + 96 + 95 + … + 2 + 1.

En el problema “Una larga suma” vimos que esta suma valía 5050.

Extra: Identidades curiosas3

¿Puedes explicar el patrón que siguen las identidades

32 + 42 = 52 102 + 112 + 122 = 132 + 142 212 + 222 + 232 + 242 = 252 + 262 + 272 362 + 372 + 382 + 392 + 402 = 412 + 422 + 432 + 442?

Vamos a probar la última identidad de una manera que sugerirá cómo se demuestra el caso general. Llevando a la derecha de la igualdad todos los términos de la izquier-da excepto el 362 se obtiene

362 = (412 − 402) + (422 − 392) + (432 − 382) + (442 − 372).

Fíjate en que hemos emparejado el mayor y el menor término, el segundo más gran-de con el segundo más pequeño, etc. Ahora, usando nuestra fórmula de la diferencia de cuadrados, tenemos

362 = (41 + 40)(41 − 40) + (42 + 39)(41 − 39) + = + (43 + 38)(43 − 38) + (44 + 37)(41 − 37)= 81 ⋅ 1 + 81 ⋅ 3 + 81⋅ 5 + 81 ⋅ 7= 81 (1+ 3 + 5 + 7)= 81 ⋅ 16

19

Capítulo 1

Y efectivamente, 362 = 92 ⋅ 42 = 81 ⋅ 16. Nuestro cálculo nos dice cómo funciona el caso general. Para n ≥ 1 en la fila n afirmamos que se cumple

[n(2n + 1)]2 + … + [2n(n + 1)]2 = (2n2 + 2n + 1)2 + … + (2n2 + 3n)2.

En efecto, cambiando términos de lado como hicimos en el caso particular anterior, obtenemos

[n(2n + 1)]2 = [(2n2 + 2n + 1)2 − (2n (n + 1))2] + …= + [(2n2 + 3n)2 − (n (2n + 1) + 1)2]= (4n2 + 4n + 1)(1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n − 1))

Necesitamos una fórmula para la suma de los n primeros números impares,

1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n − 1)

Como se trata de la suma de términos consecutivos de una progresión aritmética, podemos usar el método del problema “Una larga suma”. Sin embargo, utilizando el diagrama siguiente, podemos ver que la suma vale n2.

Usando nuestra fórmula para la suma de los n primeros números impares, nuestra identidad se convierte en:

[n(2n + 1)]2 = (2n + 1)2 n2,

que, evidentemente, es cierta.

20

Capítulo 1

¿Cuál es mayor?

¿Qué número es mayor,

Podríamos calcular las raíces, pero buscamos una solución ¡Ajá! que nos dé la res-puesta de manera inmediata.

Solución

La idea clave consiste en comparar los cuadrados de los dos números (eliminando así algunas de las raíces cuadradas). El mayor número tendrá el cuadrado mayor.

Los cuadrados de los números dados son

y

El segundo cuadrado es mayor. Por lo tanto, es mayor que .

Extra: Una ecuación diofántica

Los números de este problema —vamos a llamar al pequeño x y al mayor y— satisfa-cen la ecuación

x2 + 1 = y2.

Este es un ejemplo de ecuación diofántica, ecuaciones llamadas así en honor al matemático griego Diofanto (200 – 284). Diofanto buscaba soluciones racionales de dichas ecuaciones. Vamos a encontrar todas las soluciones racionales de la ecua-ción anterior.

21

Capítulo 1

La gráfica de la ecuación es una hipérbola, como se muestra en el dibujo.

El punto (0, 1) está en la hipérbola, por lo que ya tenemos una solución racional. Si (x, y) es otra solución racional (con x ≠ 0), entonces la pendiente de la recta que pasa por (0, 1) y (x, y) es también racional. Vamos a llamar m a esa pendiente. En-tonces

.

Despejando y, obtenemos y = mx + 1. Sustituyendo esta expresión en la ecuación de la hipérbola queda

x2 + 1 = (mx + 1)2= m2x2 + 2mx + 1.

Despejando x obtenemos

y, por tanto,

.

Estas expresiones, cuando m es un número racional distinto de ±1, proporcionan una parametrización de todas las soluciones racionales de la ecuación excepto para la solución (0, −1). Por ejemplo, si m = 4/11, entonces (x, y) = (88/105, 137/105). La razón por la cual (0, −1) no está incluida es porque determina una recta de pendien-

22

Capítulo 1

te no definida. El valor m = 0 corresponde a la recta tangente a la hipérbola en el punto (0, 1). ¿Puedes averiguar qué valores de m corresponden a la rama superior y cuáles a la rama inferior de la hipérbola?

Reducir el tamaño

Encuentra dos números enteros mayores que 1 cuyo producto sea 999 991.

Solución

Observa que

999991 = 1000000 − 9= 10002 − 32.

La regla algebraica para factorizar la diferencia de cuadrados nos viene bien ahora:

x2 − y2 = (x − y)(x + y).

Aplicando esta regla con x = 1000 e y = 3, obtenemos:

999991 = 10002 − 32= (1000 − 3) (1000 + 3)= 997 ⋅ 1003.

Extra: Buscando la descomposición en factores primos

Hemos encontrado dos números, 997 y 1003, cuyo producto es 999 991. ¿Pueden esos factores descomponerse aún más (es decir, ¿tienen divisores propios?) o son números primos (busca en la Caja de herramientas que se encuentra al final del li-bro)? Podemos ir dividiendo 997 y 1003 por otros números, como 2, 3, etc., para comprobar si los cocientes son enteros, pero, ¿cuántos intentos tendríamos que ha-cer?

Cuando buscamos divisores propios de n solo necesitamos dividir n por números primos, porque si n tiene un divisor propio entonces ese divisor tiene a su vez un factor primo. A medida que vamos probando posibles divisores, 2, 3, 5, etc., los co-cientes, n/2, n/3, n/5, etc., se van volviendo más pequeños. El “punto crítico” se al-canza con , ya que . Por lo tanto solo necesitamos buscar divisores primos menores que . Si no hay ningún divisor de este tipo, entonces n es un número primo.

23

Capítulo 1

Como 31 < < 32, los únicos números primos que tenemos que comprobar como posibles divisores de 997 son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 y 31. Después de dividir, comprobamos que ninguno de esos primos divide a 997 de manera exac-ta, por lo que 997 es un número primo. Para factorizar 1003, trabajamos con el mis-mo conjunto de primos, ya que 31 < < 32. Comprobando esos números, damos en el blanco con el 17 y encontramos que 1003 = 17 ⋅ 59, el producto de dos primos. Para verificar que 59 es un número primo, solo hace falta comprobar que 59 no es divisible por 2, 3, 5 ni 7, ya que 7 < < 8.

Por tanto, la descomposición en factores primos de 999991 es 17 ⋅ 59 ⋅ 997.

Dígitos ordenados

¿Cuántos enteros positivos tienen la propiedad de que sus dígitos van creciendo según se leen de izquierda a derecha? Ejemplos: 19, 357 y 2589.

Solución

Cada subconjunto no vacío del conjunto de enteros {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} da forma a uno de esos números. Por ejemplo, el subconjunto {2, 5, 8, 9} forma el número 2589. Un conjunto de n elementos tiene 2n subconjuntos (incluyendo al conjunto vacío). En nuestro problema, n = 9 y excluimos al conjunto vacío, por lo que hay un total de 29 − 1 = 551 números con esa propiedad.

Extra: Dígitos ordenados en un cuadrado

¿Cuántos cuadrados tienen la propiedad de que sus dígitos están en orden no de-creciente cuando se leen de izquierda a derecha? Ejemplos: 122 = 144, 132 = 169 y 832 = 6889.

Donald Knuth atacó este problema en 1985 en una de sus “Sesiones ¡Ajá!”, que eran clases en las que él y sus estudiantes se enfrentaban a desafíos matemáticos. Pue-des encontrar vídeos de las sesiones en la página web del Stanford Center for Pro-fessional Development (<<http://scpd.stanford.edu/knuth>>).

Vamos a demostrar la existencia de una colección infinita de cuadrados perfectos cuyos dígitos están en orden. Esta colección fue encontrada por Anil Gangolli.

Demostraremos que

24

Capítulo 1

Por ejemplo, para el caso n = 1 se tiene que 672 = 4489.

Como

,

tenemos que

Otra familia infinita similar es:

Hay muchas otras familias infinitas con la propiedad requerida.

¿Cuál es el siguiente término?

Calcula el siguiente término de cada una de las siguientes sucesiones:

(a) 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, …

(b) 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

(c) 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 4, 6, 4, 1, 1, 5, …

(d) 0, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, …

(e) 1, 2, 4, 6, 16, 12, 64, 24, 36, 48, 1024, 60, …

Solución

Para cada sucesión, intenta relacionar los números con un patrón que hayas visto antes.

(a) Los términos son los cuadrados perfectos, n2. Por tanto, el siguiente término es 102 = 100.

(b) Los términos forman la famosa sucesión de Fibonacci, {fn}, definida por f0 = 0, f1 = 1, fn = fn − 1 + fn − 2, para n ≥ 2. Por tanto, el siguiente término es 144.

25

Capítulo 1

(c) Los términos son los coeficientes del triángulo de Pascal (busca en la Caja de herramientas), leídos de izquierda a derecha y de arriba abajo. Por tanto, el siguiente término es 10.

(d) Los términos son los valores de π(n), el número de primos menores o iguales que n. Por lo tanto, el siguiente término es π(19) = 8.

(e) Los términos son los números enteros más pequeños que tienen n divisores positivos. Por lo tanto, el siguiente término es el menor número con 13 diviso-res positivos. Este número es 212 = 4096.

Extra: La enciclopedia on-line de sucesiones de enteros

Un buen recurso para trabajar con sucesiones de enteros es The On-Line Encyclo-pedia of Integer Sequences, dirigida por Neil J. A. Sloane (la dirección on-line es <<http://oeis.org/>>). Simplemente escribe los primeros términos de la sucesión en la que estás interesado y el motor de búsqueda te enseñará las sucesiones con las que coincide. Por ejemplo, si introducimos los términos de la sucesión (e) de arriba,

1, 2, 4, 6, 16, 12, 24, 36, 48, 1024, 60,

entonces la búsqueda nos da la sucesión A005179 (el menor número con n divisores).

27

Capítulo 1

¿Cómo lo sabe?

Una madre le pide a su hija que piense un número del 1 al 10 pero que no se lo diga. Después le da las siguientes instrucciones: súmale 7 al número que has pensado; duplica el resultado; réstale 8; divídelo entre 2; réstale el número que pensaste al principio. La madre le dice que el resultado final es 3. ¿Cómo lo sabe?

Solución

Supongamos que la hija piensa en el número x (que puede ser uno cualquiera). Entonces los pasos descritos pueden escribirse algebraicamente como:

Piensa un número x

Súmale 7 x + 7

Duplica el resultado 2(x + 7) = 2x + 14

Réstale 8 2x + 14 − 8 = 2x + 6

Divídelo entre 2 (2x + 6)/2 = x + 3

Réstale el número pensado x + 3 − x = 3

Por tanto, el número x pensado inicialmente ha desaparecido del cálculo y el resulta-do final es 3, independientemente del valor de x.

Como identidad algebraica, se trata simplemente de

Extra: Magia con el reloj

Pídele a una amiga que piense en un número del reloj (un reloj con doce números) y que lo mantenga en secreto. Dile que tú vas a señalar diferentes números del reloj

28

Capítulo 1

mientras ella cuenta en silencio hasta 20, empezando por el número elegido y aña-diendo 1 cada vez que tú señales un número. Cuando llegue a 20, debe decir “fin”. Puedes arreglártelas para que cuando ella diga “fin”, el número al que estés señalan-do sea el número que pensó. ¿Cómo puedes lograrlo?

Contando en silencio, tú comienzas señalando aleatoriamente siete números del reloj. (Tu amiga no ha podido decir “fin” aún porque 20 − 7 = 13, y 13 no es un número que esté en el reloj). Entonces señalas al 12, después al 11, después al 10, y así sucesiva-mente, en sentido contrario a las agujas del reloj hasta que tu amiga diga “fin”.

Después de los siete primeros números, tu recuento más el número que estás seña-lando siempre suman 20 (por ejemplo, 8 + 12, 9 + 11, 10 + 10). Así que cuando tu amiga diga “fin”, el número al que estás señalando es igual a 20 menos tu recuento, y ese es el número con el que tu amiga empezó su cuenta. Por ejemplo, si tu amiga había pensado en las 7:00, entonces tendrás que señalar trece números (20 − 7 = 13), y el último número al que señalarás será 20 − 13 = 7.

En términos algebraicos, sean

f = número de tu amiga

y = tu recuento

p = número al que estás señalando (después de los siete primeros)

Date cuenta de que y y p no son constantes; cambian con cada paso del recuento. Siempre se tiene que

p = 20 − y

Por tanto, cuando tu amiga dice “fin”

f = 20 − y = p.

¿Cuánto frío hacía?

Hacía tanto frío que la temperatura en la escala Fahrenheit era igual a la temperatura en la escala Celsius. ¿Cuánto frío hacía?

Solución

Buscamos un número que represente la misma temperatura tanto en grados Fahren-heit como en grados Celsius. Podemos resolver este problema si sabemos las tem-peraturas de congelación y de ebullición del agua en ambas escalas, Celsius (C) y Fahrenheit (F). Como muestra la siguiente tabla, el agua se congela a 0º C y 32º F, y hierve a 100º C y 212º F.

29

Capítulo 1

En la tabla se observa que un cambio en la temperatura de 100º C equivale a un cambio de temperatura de 180º F. Así que un cambio en la temperatura de 10º C equivale a un cambio en la temperatura de 18º F. Entonces,

−10º C = 14º F

−20º C = −4º F

−30º C = −22º F

−40º C = −40º F

Por tanto, −40º representa la misma temperatura en grados Celsius y en grados Fahrenheit. La respuesta es única, porque cuando la temperatura se aleja de −40º, la escala Fahrenheit cambia más deprisa que la escala Celsius.

Extra: De Celsius a Fahrenheit

Vamos a buscar la fórmula de conversión de c grados Celsius a f grados Fahrenheit4. La razón de proporcionalidad en el cambio de temperatura encontrada en la solución se puede escribir

Después de simplificar, obtenemos la relación lineal

(9/5) cº + 32º = f º.

Por ejemplo, la temperatura media normal del cuerpo humano es aproximadamente 37º C, que son

(9/5) 37º + 32º = 99º F (con dos cifras significativas).

30

Capítulo 1

Hombre contra tren

Un hombre está cruzando a pie un puente ferroviario. Cuando lleva cruzados los 4/7 del puente, ve un tren que viene hacia él. Se da cuenta de que tiene el tiempo justo para, o bien correr hacia el tren y salir del puente, o bien correr en sentido contrario y salir del puente. Si el hombre puede correr a 20 kilómetros por hora, ¿a qué veloci-dad se acerca el tren?

Solución

Es fácil complicarse la vida con fórmulas que involucran distancias, velocidades, etc. Una solución simple evita la necesidad de cálculos complejos.

La solución se basa en el hecho de que el hombre y el tren pueden coincidir en dos puntos: el extremo del puente más cercano al tren y el extremo más alejado. El hom-bre puede encontrarse con el tren en el extremo más cercano a este después de correr 3/7 de la longitud del mismo.

Si, en cambio, recorre la misma distancia hacia el extremo más alejado, entonces el tren se encontrará en el extremo cercano y al mismo tiempo él estará a una distancia del extremo más alejado igual a 1/7 de la longitud del puente. Como puede coincidir con el tren en el extremo alejado, el tren va 7 veces más rápido que el hombre, a 140 kilómetros por hora.

Extra: La suma de una serie geométrica

Hablando de trenes y soluciones simples, se dice que una vez le propusieron a John von Neumann5 un problema del siguiente estilo: dos trenes se dirigen el uno hacia el

31

Capítulo 1

otro por la misma vía, cada uno viajando a 60 km/h. Cuando están a 2 kilómetros de distancia, una mosca abandona el parabrisas de uno de los trenes y vuela a 90 km/h hacia el parabrisas del otro (las moscas en realidad no vuelan tan rápido). Inmedia-tamente después vuela de vuelta al primer tren, y continúa así, yendo de uno al otro, hasta que los trenes colisionan. ¿Cuántos kilómetros recorre la mosca?

Hay una forma rápida y otra metódica de resolver este problema. El método rápido consiste en fijarse en que los trenes chocan en un minuto (están a 2 kilómetros de distancia y viajan a una velocidad de 1 kilómetro por minuto). Como la mosca vuela a una velocidad de 1,5 kilómetros por minuto, habrá volado 1,5 kilómetros en ese tiempo.

La forma metódica de resolver este problema consiste en sumar una serie geométri-ca infinita. La mosca completa la primera etapa de su viaje (viajando de un tren al otro) en 4/5 de minuto, ya que en ese tiempo el tren que se acerca recorre 4/5 de kilómetro y la mosca vuela 6/5 de kilómetro.

Por tanto, después de 4/5 de minuto, tenemos un problema similar, pero con los trenes a 2 − 2 ⋅ 4/5 = 2/5 km, o sea, a 1/5 de su distancia inicial. Este patrón conti-núa, dando lugar a una serie geométrica infinita de distancias, cuya suma es la dis-tancia total que vuela la mosca:

Vamos a hallar la suma de la serie geométrica infinita

S = 1 + r + r2 + r3 + …,

donde r es un número real con −1 < r < 1 (estas cotas sobre r son necesarias para que la serie converja; trataremos este tema más adelante). Multiplicando por r, obte-nemos

Sr = r + r2 + r3 + r4 + …

Restando la segunda ecuación de la primera obtenemos

S − Sr = 1,

o

S(1 − r) = 1,

y entonces

Sustituyendo r = 1/5, completamos nuestro cálculo de la distancia recorrida por la mosca

32

Capítulo 1

(la misma respuesta que antes).

Von Neumann dio la respuesta correcta instantáneamente, así que le dijeron que seguramente había calculado el tiempo que la mosca volaba (nuestro primer méto-do). Von Neumann contestó que no, que lo que había hecho era sumar la serie.

Por cierto, también podemos obtener la suma de una serie geométrica finita,

S = 1 + r + r2 + r3 + … + rn,

donde r es cualquier número real distinto de 1. Como antes, multiplica S por r, toma la diferencia de las dos ecuaciones, y despeja la S. Se obtiene

La convergencia de la serie geométrica infinita se basa en lo que le pasa a la serie geométrica finita cuando n crece. Si −1 < r < 1, entonces el término rn+1 tiende a 0 cuando n se hace grande. Por tanto, cuando n tiende a infinito, la suma de la serie geométrica finita tiende a 1/(1 − r), que es nuestra fórmula para la suma de la serie geométrica infinita. En este sentido, decimos que la serie geométrica converge (y la suma viene dada por nuestra fórmula).

La suma cuando r = 1/2, es decir,

es particularmente digna de ser recordada. Vemos en la figura de abajo que un rec-tángulo de dimensiones 1 × 2 se puede rellenar completamente con rectángulos más pequeños cuyas áreas son los términos geométricamente decrecientes de la serie.

33

Capítulo 1

Cuesta arriba y cuesta abajo

Un ciclista sube una colina a 30 km/h y baja la misma colina a 90 km/h. ¿Cuál es su velocidad media en el trayecto completo?

Solución

Tal vez lo primero que pienses sea que la solución es simplemente el promedio entre 30 km/h y 90 km/h, es decir, 60 km/h. Sin embargo, esto no es correcto ya que el ciclista tarda menos tiempo cuando va más rápido.

Una forma rápida de hallar la velocidad media es suponer que la respuesta es inde-pendiente de la longitud de la colina. Si eso es cierto, entonces podemos suponer que la longitud de la colina es un valor conveniente, digamos 90 km. Entonces el viaje dura tres horas subiendo y una hora bajando. Así que la velocidad media es 180 km/4 h = 45 km/h.

Para comprobar esto, supongamos que la longitud de la colina es d km. Entonces el tiempo que tarda en subir es d/30 h y el tiempo que tarda en bajar es d/90 h. Por tanto, la velocidad media es

El cálculo realizado para hallar la velocidad media se denomina media armónica de dos razones. Como acabamos de comprobar, la media armónica es menor que la media aritmética. (Busca en la Caja de herramientas).

Extra: Medias potenciales

Para cualesquiera n números reales positivos x1, x2, …, xn y cualquier número real p, definimos la media p-potencial mediante la fórmula

para p ≠ 0, y

M0 = (x1 x1 … xn)1/n.

Para p = 1, 0, y −1, estas medias son la media aritmética (MA), la media geomé-trica (MG) y la media armónica (MH), respectivamente.

Para x1, x2, …, xn fijos y no todos iguales, Mp es una función creciente de p. Lasmedias son iguales si y solo si todos los xi son iguales. En particular, tenemoslas siguientes desigualdades entre las medias aritmética, geométrica y armónica:MH ≤ MG ≤ MA. Las igualdades se satisfacen si y solo si los xi son todos iguales.